Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 506]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:
а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;
б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;
в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).
(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
б) Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(n – k);
в) Pk,l(n) = Pl,k(n);
г) Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом
вечере?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k
разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом
играли n учеников 5 класса А, а во втором – n учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2n мам всех 2n учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с
перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.
Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 506]
Фильтр
