Страница:
<< 95 96 97 98
99 100 101 >> [Всего задач: 506]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, 3, ..., n}, не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (n + 1)! – 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для N = k, то есть способ и для N = 2k.
б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для N = a и для N = b, то есть способ и для N = ab.
б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то
дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придётся поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придётся поменять при очередной замене.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей a/b, что a < x и b < x (a и b – натуральные числа). Например, K(5/2) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму K(100) + K(100/2) + K(100/3) + ... + K(100/99) + K(100/100).
Страница:
<< 95 96 97 98
99 100 101 >> [Всего задач: 506]
Фильтр
