Каталог по темам

Задачи

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 506]

Задача 97790

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log_₂n] + [log_₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

Задача 97804

Темы:	[	Отношение порядка	]
	[	Обход графов	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Коганов И.

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61474

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Дискретное распределение	]
	[	Производящие функции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79488

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98237

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Н.

Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов (n ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 506]