Каталог по темам

Задачи

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 506]

Задача 109189

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ландо С.К., Шаповалов А.В.

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 111817

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Берлов С.Л., Мурашкин М.В.

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73754

Темы:	[	Параллелепипеды (прочее)	]
	[	Остовы многогранных фигур	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Cерединный перпендикуляр и ГМТ	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Васильев Н.Б.

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64593

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Буфетов А.И.

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65245

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Антропов А.

Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что a_n = a и a_i+1 = a_i – S(a_i) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 506]