Страница:
<< 269 270 271 272 273
274 275 >> [Всего задач: 1371]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дано множество точек O, A1, A2, ..., An на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют
такие векторы x и y, что для любой точки Ai выполняется равенство 
где k и l – некоторые целые числа.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Найти наименьшее
n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в
виде пересечения
n треугольников. Докажите, что для меньших
n это можно
сделать не с любым выпуклым 100-угольником.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две
равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на
части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат
контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику,
включая контур.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.
Страница:
<< 269 270 271 272 273
274 275 >> [Всего задач: 1371]
Фильтр
