Каталог по темам

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 779]

Задача 67289

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Глебов А.

Петя и Вася по очереди красят рёбра $N$-угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зелёный (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все рёбра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведёт ломаная, состоящая из зелёных рёбер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 67623

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Функции. Непрерывность (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:

достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.

Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t| < 10^{-100}$. Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 73594

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Авторы: Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78078

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, а во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?

Прислать комментарий Решение

Задача 78665

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
Темы:	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Двое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выиграет, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 779]