Каталог по темам

Задачи

Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 4283]

Задача 61295

Темы:	[	Тригонометрические замены	]
Темы:	[	Иррациональные уравнения	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнение:

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}$ + 2x² = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61310

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66511

Тема:

[

Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)

]

Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Автор: Бакаев Е.В.

Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.

Прислать комментарий Решение

Задача 73578

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на n равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на n² треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

Прислать комментарий Решение

Задача 78240

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что $\Delta$ A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает $\Delta$ A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 4283]