Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 417]

Задача 73750

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Раскраски	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Тоом А.Л.

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

Прислать комментарий Решение

Задача 73780

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий Решение

Задача 32884

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7

Доказать, что если несократимая рациональная дробь ^p/_q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61394

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Число e	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
а)

б) при n > 1;

в) при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65124

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Раскраски	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Дано натуральное число n ≥ 2. Рассмотрим все такие покраски клеток доски n×n в k цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 417]