Страница:
<< 32 33 34 35 36 37
38 >> [Всего задач: 189]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На отрезке [0, N] отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, N], целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка [0, N]?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число,
десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц,
не делится на M?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10
|
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.
Страница:
<< 32 33 34 35 36 37
38 >> [Всего задач: 189]
Фильтр
