Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]
Петя и Вася играют на доске размером 7×7. Они по очереди ставят в клетки доски цифры от 1 до 7 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не оказалось одинаковых цифр. Первым ходит Петя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11
|
На столе лежат $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, ..., $11$ кг. Алёна и
Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает
$14$ кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со
стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?
Имеется система уравнений
*
x + *y + *z = 0,
*
x + *y + *z = 0,
*
x + *y + *z = 0.
Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
На квадратном поле размерами
99×99, разграфленном на клетки размерами
1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за
этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих
крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся
поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго
игрока первый всегда может выиграть.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями,
по которым её можно ломать (всего получается 9·6 = 54 дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Теория алгоритмов
>>
Теория игр
>>
Симметричная стратегия
