Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 399]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не
больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово
расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если
зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается
однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости дано бесконечное множество точек
S , при этом
в любом квадрате
1×1
лежит конечное число точек из множества
S .
Докажите, что найдутся две разные точки
A и
B из
S
такие, что для любой другой точки
X из
S выполняются неравенства:
|XA|,|XB|
0,999|AB|.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида Pn(x) = xn + ... + ax² + bx + c, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a0, a1, ..., an, что an = a и ai+1 = ai – S(ai) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?
Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 399]
Фильтр
