Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105213

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Системы линейных уравнений ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109605

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109908

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Показательные неравенства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что  S(3ⁿ) ≥ S(3ⁿ⁺¹).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110034

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115986

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями