Страница:
<< 61 62 63 64
65 66 67 >> [Всего задач: 399]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Рассматривается последовательность слов из букв "A" и "B". Первое слово –
"A", второе – "B". k-е слово получается приписыванием к (k–2)-му слову справа (k–1)-го (так что начало последовательности имеет вид: "A", "B", "AB", "BAB", "ABBAB", ...). Может ли в последовательности встретиться "периодическое" слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить 3n + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном
порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая
симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно
центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)
Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности
одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома
получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
Страница:
<< 61 62 63 64
65 66 67 >> [Всего задач: 399]
Фильтр
