Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 399]
После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S1. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина S1 : S?
Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел.
За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их a и b) и заменить их на числа a² – 2011b² и ab. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили
на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на
каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 399]
Фильтр
