Каталог по темам

Задачи

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 490]

Задача 116725

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Сумма длин диагоналей четырехугольника	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Прислать комментарий

Решение

Задача 31091

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Обход графов	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 6,7,8

В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 31104

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 6,7,8

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60489

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64346

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Берлов С.Л.

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Затем под каждым числом a_i написали число b_i, полученное прибавлением к a_i наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b₁, b₂, ..., b₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 490]