Страница:
<< 60 61 62 63
64 65 66 >> [Всего задач: 423]
|
[Арифметико-геометрическое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:
a0 =
a,
b0 =
b,
an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется
арифметико-геометрическим средним чисел
a, b и обозначается μ(
a, b).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Доказать, что если p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение
конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, ... такова, что для каждого n уравнение an+2x² + an+1x + an = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
Страница:
<< 60 61 62 63
64 65 66 >> [Всего задач: 423]
Фильтр
