ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 96]      



Задача 111264

Темы:   [ Непрерывность и компактность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство: f(x2)-(f(x))2 . Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109509

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(xy)=f(x)f(y) .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110122

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x6  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73808

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Попов В. А.

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109819

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f2(x+y) f2(x)+2f(xy)+f2(y)?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 96]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .