Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 838]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65048

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65200

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65371

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65645

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Точки I_A, I_B, I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из I_A на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из I_B на BC, в точке X_C. Аналогично определяются точки X_A и X_B. Докажите, что прямые I_AX_A, I_BX_B и I_CX_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66225

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямая Симсона ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 838]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями