Каталог по темам

Задачи

Страница: << 154 155 156 157 158 159 160 >> [Всего задач: 838]

Задача 66029

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66212

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В прямоугольном треугольнике ABC точка C₀ – середина гипотенузы AB, AA₁, BB₁ – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C₀I и A₁B₁ пересекаются на высоте CH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111042

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111625

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе AB. Биссектрисы углов CAB и BCH пересекаются в точке M, а биссектрисы углов CBA и ACH – в точке N. Докажите, что MN || AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64914

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Жанбулатулы М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 154 155 156 157 158 159 160 >> [Всего задач: 838]