Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1672]      

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M так, что  ∠АМС = 150°.
Докажите, что отрезки АМ, ВМ и СМ таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.

Прислать комментарий

Решение

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC точка C₀ – середина гипотенузы AB, AA₁, BB₁ – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C₀I и A₁B₁ пересекаются на высоте CH.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ с центром описанной окружности $O$ проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$. Точки $X$ и $Y$ симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон $BC$ и $CA$ соответственно. Докажите, что прямая $CO$ делит отрезок $XY$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1672]