Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]

Задача 108107

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кузнецов Д.Ю.

В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?

Подсказка

Докажите, что лучи AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Решение

Предположим, что это возможно. Пусть ∠BAM = ∠MAN = ∠DAN, лучи AM и AN пересекают диагональ BD в точках K и L соответственно, а O – центр параллелограмма. Поскольку K – точка пересечения медиан треугольника ABC, то BK = ⅔ BO = ⅓ BD.
Аналогично DL = ⅓ BD. Значит, BK = KL = DL. В треугольнике ABL медиана AK является биссектрисой, поэтому треугольник ABL – равнобедренный, а AK – его высота. Аналогично AL – высота треугольника AKD. Таким образом, AK ⊥ BD и AL ⊥ BD, то есть из точки A на прямую BD опущено два различных перпендикуляра, что невозможно.

Ответ

Не могут.

Прислать комментарий

Задача 115612

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка M расположена внутри треугольника ABC. Известно, что треугольники AMB, AMC и BMC равновелики.
Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника ABC.

Решение

Продолжим отрезок AM до пересечения со стороной BC в точке K. Пусть P и Q – проекции точек соответственно B и C на прямую AM. Тогда BP = CQ как высоты равновеликих треугольников AMB и AMC, опущенные на их общую сторону AM. Если точки P и Q совпадают, то они совпадают с точкой K. В этом случае K – середина BC, то есть AK – медиана треугольника ABC. Если же точки P и Q различны, то прямоугольные треугольники BKP и CKQ равны по катету и острому углу, значит, BK = CK, то есть и в этом случае AK – медиана треугольника ABC.
Аналогично точка M лежит на медианах треугольника ABC, проведённых из вершин B и C. Следовательно, M – точка пересечения медиан этого треугольника.

Прислать комментарий

Задача 54442

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC медианы AE и BD, проведённые к сторонам BC и AC, пересекаются под прямым уголом. Сторона BC равна a. Найдите другие стороны треугольника ABC, если AE² + BD² = d².

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан. Обозначим OE = x, OD = y. Тогда

AO = 2x, BO = 2y, AE = 3x, BD = 3y,

и по условию задачи

9x² + 9y² = 9(x² + y²) = d².

Следовательно,

AB² = 4x² + 4y² = 4(x² + y²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ d².

Поэтому

AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ d, AC = 2AD = 2 $\displaystyle \sqrt{AO^{2} + DO^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{4x^{2}+ y^{2}}$ ,

а x и y найдем из системы уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\ \end{array}$

Ответ

${\frac{2d}{3}}$ , $\sqrt{\frac{20d^{2}}{9} - a^{2}}$ .

Прислать комментарий

Задача 54475

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 3, BC = 4, а медианы AK и BL взаимно перпендикулярны.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим ML = x, MK = y. Тогда MB = 2x, MA = 2y. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMK и AML находим:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 4x^{2} + y^{2} = 4\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 4x^{2} + y^{2} = 4\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array}$

Из полученной системы находим, что

x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}}$ , y = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Поэтому

S_AMB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.MB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2x^.2y = 2xy = $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{3}}$ .

Следовательно,

S_ABC = 3S_AMB = $\displaystyle \sqrt{11}$ .

Ответ

$\sqrt{11}$ .

Прислать комментарий

Задача 55540

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Муратов А.А.

Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Подсказка

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой; периметры равновеликих треугольников с равными вписанными окружностями равны между собой.

Решение

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан m_a и m_b. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m_a. (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a и m_b, второй — b и m_a). Поэтому периметры этих треугольников равны, т.е.

a + m_b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b = b + m_a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a + m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b + m_a. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что a = b.

Прислать комментарий

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]