Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC
даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M1, N1 и P1 симметричны точкам M, N
и P относительно середин соответствующих сторон, то
SMNP = SM1N1P1.
б) если M1, N1 и P1 — такие точки сторон AC, BA
и CB, что
MM1| BC,
NN1| CA и
PP1| AB,
то
SMNP = SM1N1P1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $K$ – точка пересечения $BC$ с внешней биссектрисой угла $A$. Прямая $KI$ пересекает внешние биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $\angle BAX=\angle CAY$.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма.
Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Фильтр
