Каталог по темам

Задачи

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 332]

Задача 109520

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тамаркин Д.

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий Решение

Задача 109043

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Системы счисления (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дан ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число n>2 равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Прислать комментарий Решение

Задача 60985

[Правило знаков Декарта]

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ не превосходит числа перемен знака в последовательности a_n, ..., a₁, a₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61316

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что для чисел {x_n} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби: x_n+1 = [1;].
Оцените разность |x_n – |.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64532

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Франк М.

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 332]