Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 328]
По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные
устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам
x и y вычислить xy + x + y + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена
1 + x + x² + ... + x1982. Под
"программой" он понимает такую последовательность многочленов f1(x), ..., fn(x), что
f1(x) = x и для любого i = 2, ..., n fi(x) – константа или
fi(x) = fj(x)·fk(x) + fk(x) + fj(x) + 1, где j < i, k < i, причём fn(x) = 1 + x + ... + x1982.
а) Помогите Пете написать "программу".
б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию xy + x + y?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Назовем усреднением последовательности
ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом
a'k=
.
Рассмотрим последовательности:
ak ,
a'k – ее усреднение,
a''k –
усреднение последовательности
a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность
ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность
xk – хорошая, то последовательность
xk2 – тоже хорошая.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Дан ряд чисел
1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых,
начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что
каждое натуральное число
n>2 равно сумме нескольких различных
чисел указанного ряда.
|
[Правило знаков Декарта]
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
