Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]

Задача 78768

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке O, не могут попасть предметы A и B такие, что угол AOB больше 179^o. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.

Решение

Предположим, что на каждом снимке сфотографированы все остальные фотоаппараты (за исключением того, которым сделан снимок). Тогда точки, в которых расположены фотоаппараты, являются вершинами выпуклого 1000-угольника, поскольку иначе найдётся фотоаппарат, из которого видны не все остальные. Сумма всех углов 1000-угольника равна 180^{o .}998 = 179640^o > 179^{o .}1000. Поэтому один из углов больше 179^o. Фотоаппарат, расположенный в этом углу, не может сфотографировать сразу все остальные фотоаппараты.

Прислать комментарий

Задача 61283

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Тригонометрические замены	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Прислать комментарий

Задача 58094

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше $\pi$ k.

Решение

Предположим, что сумма длин хорд не меньше $\pi$ k, и докажем, что тогда найдется диаметр, пересекающий по крайней мере k + 1 хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными хордами, больше $\pi$ k. Если мы к этим дугам добавим еще и дуги, симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин всех рассматриваемых дуг будет больше 2 $\pi$ k. Поэтому найдется точка, которую покрывает по крайней мере k + 1 из этих дуг. Диаметр, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере k + 1 хорду.

Прислать комментарий

Задача 78570

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные ${\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Решение

Возьмём 1965 дисков, раскрашенных так же, как второй из наших дисков, и положим их на первый диск так, чтобы они занимали все возможные положения. Тогда над каждым окрашенным сектором первого диска расположено 200 окрашенных секторов, т. е. всего имеется 200² пар совпадающих окрашенных секторов. Пусть имеется n положений второго диска, при которых совпадает не менее 21 пары окрашенных секторов. Тогда число совпадений окрашенных секторов не меньше 21n. Поэтому 21n $\le$ 200², т. е. n $\le$ 1904, 8. Так как n — целое число, то n $\le$ 1904. Следовательно, по крайней мере при 1965 - 1904 = 61 положениях совпадает не более 20 пар окрашенных секторов.

Прислать комментарий

Задача 58096

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

Решение

Пусть l₁ — произвольная прямая, перпендикулярная l. Обозначим длины проекций i-го отрезка на прямые l и l₁ через a_i и b_i соответственно. Так как длина каждого отрезка равна 1, то a_i + b_i $\ge$ 1. Поэтому (a₁ +...+ a_4n) + (b₁ +...+ b_4n) $\ge$ 4n. Пусть для определенности a₁ +...+ a_4n $\ge$ b₁ +...+ b_4n. Тогда a₁ +...+ a_4n $\ge$ 2n. Все данные отрезки проецируются на отрезок длиной 2n, так как они лежат внутри окружности радиуса n. Если бы проекции данных отрезков на прямую l не имели общих точек, то выполнялось бы неравенство a₁ +...+ a_4n < 2n. Поэтому на l есть точка, в которую проецируются точки по крайней мере двух данных отрезков. Перпендикуляр к l, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере два данных отрезка.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]