Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 499]      

Дан остроугольный треугольник ABC; B₁ и C₁ – основания высот, опущенных из вершин B и C соответственно. Точка D – основание перпендикуляра, опущенного из точки B₁ на AB; E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC, с отрезком BB₁. Докажите, что  EC₁ || AC.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Прямые, касающиеся окружности Ω в точках A и B, пересекаются в точке O. Точка I – центр Ω. На меньшей дуге AB окружности Ω выбрана точка C, отличная от середины дуги. Прямые AC и OB пересекаются в точке D, а прямые BC и OA – в точке E. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ACE, BCD и OCI лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 499]