Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 501]      

На дуге окружности, стягиваемой хордой KN, взяты точки L и M. Биссектрисы углов KLM и LMN пересекаются в точке P, лежащей на хорде KN. Известно, что отношение длины хорды KL к длине хорды KN равно . Найдите:

а) отношение расстояний от точки P до прямых KL и MN;

б) отношение площадей треугольников KLP и MPN.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что если:

а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;

б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписанный; H_c и H_d — ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH_cH_d — параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 501]