ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 510]      



Задача 78798

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79592

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике $A_1 A_2 \ldots A_{12}$ диагонали $A_1A_5$, $A_2A_6$, $A_3A_8$ и $A_4A_{11}$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Метод усреднения ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98372

Темы:   [ Произвольные многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Движения (прочее) ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108112

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a1, a2, ..., an,  что
a1 > a2 > ... > an > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 510]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .