Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 183]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61335  [Метод Архимеда]

Темы:   [ Окружности (прочее) ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116119

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64708

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Будем называть змейкой ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65184

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98503

Темы:   [ Куб ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Для какого наибольшего n можно выбрать на поверхности куба n точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 183]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями