Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 173]

Задача 102285

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан параллелограмм KLMN, у которого KL = 8, KN = 3 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$ и $\angle$ LKN = 45^o. На стороне KL взята такая точка A, что KA : AL = 3 : 1. Через точку A параллельно LM проведена прямая, на которой внутри параллелограмма выбрана точка B, а на стороне KN выбрана точка C так, что KC = AB. Прямые LC и MB пересекаются в точке D. Найдите угол LAD.

Прислать комментарий Решение

Задача 55541

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

О выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что окружность с диаметром AB касается прямой CD. Докажите, что окружность с диаметром CD касается прямой AB тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

Прислать комментарий Решение

Задача 78684

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R $\ge$ 1/3.

Прислать комментарий Решение

Задача 52466

[Теорема Штейнера-Лемуса]

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий Решение

Задача 53121

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 173]