Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]

Задача 97763

Темы:	[	Площадь (прочее)	]
	[	Конус	]
	[	Векторы (прочее)	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Площадь сферы и ее частей	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Решение

Поместим начала всех векторов в точку O. Окружим каждый вектор конусом с вершиной O и "углом раствора" 45° (вектор направлен по оси этого конуса). Каждый конус высекает на единичной сфере (площадь которой равна 4π) шапочку. Площадь шапочки больше площади её основания – круга радиуса sin ^π/₈, то есть больше π sin² ^π/₈ (1 – cos ^π/₄) > ^4π/₃₀. Поэтому какие-то две шапочки пересекаются и угол между соответствующими векторами меньше 45°.

Прислать комментарий

Задача 56779

Тема:

[

Площадь (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а) S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б) S_OPQ = S_ABCD/4.

Решение

а) Площадь параллелограмма PMQN равна BC^.AD sin $\alpha$ /4, где $\alpha$ — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из вершин B и C, равны OB sin $\alpha$ и OC sin $\alpha$ , поэтому | S_ABD - S_ACD| = | OB - OC|^.AD sin $\alpha$ /2 = BC^.AD sin $\alpha$ /2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи AD и BC. Так как PN || AO и QN || CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому S_OPQ = S_PQN + S_PON + S_QON = ${\frac{S_{PMQN}}{2}}$ + ${\frac{S_{ACD}}{4}}$ + ${\frac{S_{BCD}}{4}}$ = ${\frac{(S_{ABD}-S_{ACD}+S_{ACD}+S_{BCD})}{4}}$ = ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ .

Прислать комментарий

Задача 56780

Тема:

[

Площадь (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Решение

Отрезки KM и LN являются средними линиями треугольников CED и AFB, поэтому они имеют общую точку — середину отрезка EF. Кроме того, KM = CD/2, LN = AB/2 и угол между прямыми KM и LN равен углу $\alpha$ между прямыми AB и CD. Поэтому площадь четырехугольника KLMN равна AB^.CD sin $\alpha$ /8.

Прислать комментарий

Задача 56781

Тема:

[

Площадь (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Середины диагоналей AC, BD, CE,... выпуклого шестиугольника ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.

Решение

Обозначим середины диагоналей шестиугольника ABCDEF так, как показано на рис. Докажем, что площадь четырехугольника A₁B₁C₁D₁ в четыре раза меньше площади четырехугольника ABCD. Воспользуемся для этого тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Так как A₁C₁ и B₁D₁ — средние линии треугольников BDF и ACE, получаем требуемое. Аналогично доказывается, что площадь четырехугольника D₁E₁F₁A₁ в четыре раза меньше площади четырехугольника DEFA.

Прислать комментарий

Задача 56782

Тема:

[

Площадь (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри окружности, причем BC || PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что S_ACK = S_BCL.

Решение

Пусть $\alpha$ = $\angle$ PQC. Тогда 2S_ACK = CK^.AK = (AP cos $\alpha$ )^.(AQ sin $\alpha$ ) = AR²sin $\alpha$ cos $\alpha$ = BC²sin $\alpha$ cos $\alpha$ = BL^.CL = 2S_BCL.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]