Каталог по темам

Задачи

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 241]

Задача 109860

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Галочкин А.И.

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57089

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., n, все углы которого равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107844

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Параллельный перенос (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109604

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 108562

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е.

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ ,

где a, b, c — стороны треугольника, $\gamma$ — угол, противолежащий стороне, равной c.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 241]