Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 239]

Задача 78243

Темы:	[	Псевдоскалярное произведение	]
Темы:	[	Вычисление площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и точка O. M₁, M₂, M₃ — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M₁M₂M₃ равна 1/9 площади ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 78255

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Известно, что Z₁ + ... + Z_n = 0, где Z_k — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 78264

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 79431

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 3+
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ + $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{0}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 79503

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
Темы:	[	Скалярное произведение	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполняться три неравенства

|a| < |b − c|,

|b| < |c − a|,

|c| < |a − b|.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 239]