Каталог по темам

Задачи

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1587]

Задача 58030

Тема:

[

Композиции гомотетий

]

Сложность: 4+
Классы: 9

а) На сторонах треугольника ABC построены собственно подобные треугольники A₁BC, CAB₁ и BC₁A. Пусть A₂, B₂ и C₂ — соответственные точки этих треугольников. Докажите, что $\triangle$ A₂B₂C₂ $\sim$ $\triangle$ A₁BC.
б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 65566

Темы:	[	Поворот (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65940

Темы:	[	Композиция центральных симметрий	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Тарасов А.

Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки А) она моментально появляется в новом (в точке A') так, что в середине отрезка АA' находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66241

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66946

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1587]