Страница:
<< 94 95 96 97
98 99 100 >> [Всего задач: 1032]
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме
квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма
чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные
симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в
каждом столбце меньше 1035.
На квадратном поле размерами
99×99, разграфленном на клетки размерами
1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за
этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих
крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся
поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго
игрока первый всегда может выиграть.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость
разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Верно ли, что всегда каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?
б) На столе лежат 5 одинаковых равносторонних бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Докажите, что каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются
биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, ∠A = 35°, ∠D = 145°, а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.
Страница:
<< 94 95 96 97
98 99 100 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
