Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 1032]
|
[Обмены квартир]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи
обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в
другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех
сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, и окружность, касающаяся
продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхугольника
взаимно перпендикулярны.
Дан параллелограмм ABCD и точка M. Через точки A, B, C и D
проведены прямые, параллельные прямым MC, MD, MA и MB
соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной
точке.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Два квадрата и равнобедренный треугольник
расположены так, как показано на рисунке (вершина K
большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.
Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
