Версия для печати
Убрать все задачи
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Решение
Пусть
O — точка пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD,
а
E,
F — точки пересечения продолжений сторон
AB и
CD,
BC и
AD соответственно. Прямая
EO пересекает стороны
AD и
BC
в точках
K и
L, а прямая
FO пересекает стороны
AB и
CD
в точках
M и
N. Докажите, что точка
X пересечения прямых
KN
и
LM лежит на прямой
EF.
Решение
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ad – bc > 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел a, b, c, d не делится на ad – bc.
Решение
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
Решение
Фильтр
