Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 132]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 7,8,9
|
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N —
середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник A0B0C0. Пусть точки
A1, B1, C1 — центры
квадратов, построенных на сторонах B0C0, C0A0, A0B0. С треугольником
A1B1C1 делаем то же самое. Получаем треугольник A2B2C2 и т.д.
Доказать, что
An + 1Bn + 1Cn + 1 пересекает
AnBnCn
ровно в 6 точках.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 132]