Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 465]

Задача 53212

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. На стороне BC взята точка P, а на стороне AC взята точка M, причём ∠APB = ∠BMA = 45°. Отрезки AP и BM пересекаются в точке O. Известно,что площади треугольников BOP и AOM равны между собой, BC = 1, BO = . Найдите площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53856

[Теорема Чевы]

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть точки A₁, B₁ и C₁ принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Докажите, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прислать комментарий

Решение

Задача 55397

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Готман Э.Г.

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём ∠EAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.
Докажите, что S_AEF = 2S_APQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64549

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4-

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73642

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃, то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 465]