Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 230]

Задача 108001

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Прасолов В.В.

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

Пусть K, L, P и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда KLMN – квадрат. Поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины, то при гомотетии с центром M и коэффициентом ⅔ четырёхугольник KLMN переходит в четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM. Значит, последний четырёхугольник также является квадратом.

Прислать комментарий

Задача 108004

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию данного треугольника с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом –½.

Решение

При гомотетии с центром в точке M пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом –½ прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC, переходят в параллельные им прямые, проходящие через середины сторон треугольника ABC. Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то их образы при рассматриваемой гомотетии также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Задача 108664

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки K и L на сторонах соответственно AB и AC остроугольного треугольника ABC таковы, что KL || BC ; M – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках K и L к отрезкам AB и AC . Докажите, что точки A , M и центр O описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

Решение

Пусть D и E – середины сторон AB и AC соответственно (рис.1). Заметим, что DE || BC || KL , DO – серединный перпендикуляр к отрезку AB . Значит, DO || KM . Аналогично, OE || LM . Тогда гомотетия с центром в точке A , переводящая точку E в точку L , переводит D в K , а O в M . Следовательно, точки A , O и M лежат на одной прямой.

Обозначим ABC = β (рис.2). Тогда центральный угол AOC описанной окружности треугольника ABC вдвое больше вписанного угла ABC , т.е. равен 2β . Из равнобедренного треугольника AOC находим, что CAO = 90^o-β . Из точек K и L отрезок AM виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AM . Вписанные в эту окружность углы AML и AKL опираются на одну и ту же дугу, поэтому

AML = AKL = ABC = β
( KL || BC ). Из прямоугольного треугольника AML находим, что
LAM = 90^o - AML = 90^o-β = CAO.
Следовательно, точки A , O и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Задача 55761

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию относительно выбранной точки с коэффициентом 2.

Решение

Пусть P — произвольная точка; M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD квадрата ABCD; P₁, P₂, P₃ и P₄ — образы точки P при симметриях относительно точек M, N, K и L соответственно.

Поскольку

PP₁ = 2PM, PP₂ = 2PN, PP₃ = 2PK, PP₄ = 2PL

и при этом точки P₁, P₂, P₃, P₄ расположены на лучах PM, PN, PK, PL соответственно, то четырёхугольник P₁P₂P₃P₄ гомотетичен четырёхугольнику MNKL относительно точки P с коэффициентом 2, а т.к. MNKL — квадрат, то четырёхугольник P₁P₂P₃P₄ — также квадрат.

Прислать комментарий

Задача 55762

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию относительно точки пересечения диагоналей трапеции, переводящую точку A в точку C.

Решение

Пусть BMC и DNA – указанные равносторонние треугольники, O – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD.
При гомотетии относительно точки O, переводящей точку A в точку C, точка D перейдёт в точку B, отрезок AD – в отрезок CB, луч AN – в луч CM (так как прямые AN и CM параллельны), а луч DN – в луч BM. Поэтому точка N перейдёт в точку M.
Следовательно, прямая MN проходит через центр рассматриваемой гомотетии, то есть через точку O.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 230]