В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60^o, AM и CN — его высоты, а Q — середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний.

   Решение

Таня выложила на клетчатой бумаге узор из одинаковых фигур в виде буквы Т, показанной на рисунке слева. Игорь случайно пролил на него краску и от узора осталось только то, что показано на рисунке справа. Восстановите Танин узор, если известно, что буквы Т выкладывались без просветов и наложений.

   Решение

Пусть r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь треугольника равна r(2R + r).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 96]      

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, точки E и F — на стороне BC этого треугольника, а точка P — на стороне AC. Отрезок AD составляет две трети стороны AB, отрезок BF составляет три пятых стороны BC, отрезок BE составляет одну пятую стороны BC, а точка P делит сторону AC пополам. Найдите отношение площади четырёхугольника DEFP к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

A, B, C, D — последовательные вершины параллелограмма. Точки E, F, P, H лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD. Отрезок AE составляет стороны AB, отрезок BF составляет стороны BC, а точки P и H делят пополам стороны, на которых они лежат. Найдите отношение площади четырёхугольника EFPH к площади параллелограмма ABCD.

Прислать комментарий

Решение

A, B, C, D — последовательные вершины параллелограмма ( AD || BC). Точка E лежит на стороне AB, причём отрезок AE составляет этой стороны. Точка F лежит на стороне BC, причём отрезок BF составляет этой стороны. На стороне AD лежит точка P, причём отрезок AP составляет этой стороны. Найдите отношение площади треугольника EFP к площади параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Диагональ KM трапеции KLMN в 3 раза длиннее отрезка KP этой диагонали. Основание KN трапеции в 3 раза длиннее основания LM.
Найдите отношение площади трапеции KLMN к площади треугольника KPR, где R – точка пересечения прямой PN и стороны KL.

Прислать комментарий

Решение

Длины сторон треугольника ABC равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, E и F. Найдите площадь треугольника DEF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 96]