Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]

Задача 53391

Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

Подсказка

Пусть AE и BD – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°. Тогда BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD.

Решение

Пусть AE, BD и CM – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°. На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку
∠EBK = 180° – 120° = 60° = ∠DBE, то BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD. Поэтому точка E равноудалена от прямых AB и DB, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CD. Значит, точка E равноудалена от сторон угла BDC, то есть DE – биссектриса угла BDC. Аналогично DM – биссектриса угла ADB. Следовательно, ∠MDE = ½ (∠ADB + ∠BDC) = 90°.

Прислать комментарий

Задача 56468

Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁.
Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Решение

Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Пусть a – расстояние от точки A₁, до прямых AC и AB, b – расстояние от точки B₁ до прямых AB и BC, A₁M : B₁M = p : q, причём p + q = 1. Тогда расстояния от точки M до прямых AC и BC равны qa и рb соответственно. С другой стороны, согласно задаче 56456 б) расстояние от точки M до прямой AB равно qa + pb.

Прислать комментарий

Задача 101885

Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что OC = OD и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если ∠AOB = 110° и ∠COD = 90°.

Решение

Из условия следует, что COD – равнобедренный прямоугольный треугольник, а AO и BO – биссектрисы соответственно углов A и B четырёхугольника. Пусть OE и OF – перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AD и BC. Поскольку точка O равноудалена от прямых DA и BC, то OF = OE. Поэтому прямоугольные треугольники OFC и OED равны по гипотенузе и катету. Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. ∠ADO = ∠BCO, значит, ∠ADС = ∠BCD. Так как ∠A + ∠B = 2∠BAO + 2∠AВO = 2∠BOС = 2(180° – 110°) = 140°, то
∠ADС = ½ (360° – 140°) = 110°. Отсюда ∠ADO = 110° – 45° = 65°, ∠BAO = ∠DAO = 90° – 65° = 25°, ∠ABO = 70° – 25° = 45°.
Второй способ. ∠BOC = ∠DAO = ∠EAO, значит, AB || OF, то есть AB ⊥ BC. Следовательно, ∠BAO = 70° – ½ ∠ABO = 25°,
∠ADС = ∠EDO + ∠СDO = (90° – 25°) + 45° = 110°. Аналогично находится угол BСD.

Ответ

50°, 90°, 110°, 110°.

Прислать комментарий

Задача 101886

Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка O лежит на диагонали KM выпуклого четырёхугольника KLMN. Известно, что OM = ON и что точка O одинаково удалена от прямых NK, KL и LM. Найдите углы четырёхугольника, если ∠LOM = 55° и ∠KON = 90°.

Решение

См. решение задачи 101885.

Ответ

20°, 90°, 125°, 125°.

Прислать комментарий

Задача 108078

Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Токарев С.И.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

Подсказка

Докажите, что E – центр вневписанной окружности треугольника ADB.

Решение

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а ∠A = 120°.

Ответ

120°.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]