Каталог по темам

Задачи

Страница: << 206 207 208 209 210 211 212 >> [Всего задач: 1240]

Задача 107625

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан бумажный круг. Можно ли с помощью ножниц разрезать его на несколько частей, из которых складывается квадрат той же площади? (Резать разрешается по прямым и дугам окружностей).

Прислать комментарий Решение

Задача 109641

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109895

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Дужин Ф.С.

В одном из узлов шестиугольника со стороной n , разбитого на правильные треугольники (см. рис.) , стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110046

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Садыков Р., Черепанов Е.

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.
Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110149

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храмцов Д.

Пусть многочлен P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₀ имеет хотя бы один действительный корень и a₀ ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 206 207 208 209 210 211 212 >> [Всего задач: 1240]