Каталог по темам

Задачи

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 1235]

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 3
Классы: 5,6,7

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Темы:	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Найти все решения системы уравнений: (x + y)³ = z, (y + z)³ = x, (z + x)³ = y.

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

a, b и c – целые числа. Докажите, что если a = b + c, то a⁴ + b⁴ + c⁴ есть удвоенный квадрат целого числа.

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0, если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию p + q + r = 0.

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 1235]