Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1224]
На окружности длины 15 выбрано n точек, так что для каждой имеется ровно
одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2
(расстояние измеряется по окружности). Докажите, что n делится на 10.
На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1
перпендикулярно к AnA1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n
присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить
их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со
своими знакомыми (n
2).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Можно ли расставить на окружности числа
1, 2...12 так, чтобы разность между
двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный
перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно
этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две
точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать,
что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать
по одну сторону от нее.
Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1224]
Фильтр
