Каталог по темам

Задачи

Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 1240]

Задача 111336

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Горбачев А.Н.

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73548

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел равна d, а сумма модулей всех n(n – 1)/2 попарных разностей этих чисел равна s, то

(n – 1)d £ s £ n²d/4.

Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 78570

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные ${\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Прислать комментарий Решение

Задача 78631

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Прислать комментарий Решение

Задача 78676

Темы:	[	Композиции поворотов	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом $\alpha$ , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол $\beta$ . Дано, что $\beta$ < $\alpha$ < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 1240]