Каталог по темам

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 224]

Задача 109607

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Галочкин А.И., Ляшко О.

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110206

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Раскраски	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Прислать комментарий Решение

Задача 111801

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Мурашкин М.В., Берлов С.Л., Богданов И.И.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78166

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Принцип крайнего	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 79370

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Конягин С.В.

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и a_n ≤ n¹⁰ при любом n?

б) Тот же вопрос, если a_n ≤ n при любом n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 224]