Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 224]
Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В прямоугольной таблице m строк и n столбцов (m < n). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём
временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали
одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Даны n > 1 приведённых квадратных трёхчленов x² – a1x + b1, ..., x² – anx + bn, причём все 2n чисел a1, ..., an, b1, ..., bn различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел a1, ..., an, b1, ..., bn является корнем одного из этих трёхчленов?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что
квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой
диагонали одна и та же. Докажите, что
а) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
б) 2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.
Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 224]
Фильтр
