Страница:
<< 39 40 41 42 43 44
45 >> [Всего задач: 224]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,
x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя
раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем
Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний
между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не
зависит от того, какую раскраску сделал Петя.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две
фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать
параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,
записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй
фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
Грани некоторого многогранника раскрашены в два цвета так, что соседние грани имеют разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер, кратное 3. Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3 число рёбер.
Страница:
<< 39 40 41 42 43 44
45 >> [Всего задач: 224]
Фильтр
