Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 69]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T1 был остроугольным?
б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников,
площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части
некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый
цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и
множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными
коэффициентами подобия)?
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно
забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15
площади стола.
(
Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Точки A1, A2, A3, A4, A5, A6 делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A1 провёден луч l1 в направлении A2, из A2 – луч l2 в направлении A3, ..., из A6 – луч l6 в направлении A1. Из точки B1, взятой на луче l1, опускается
перпендикуляр на луч l6, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l5 и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B1. Найти отрезок B1A1.
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 69]