Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]      

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T₁ был остроугольным?
  б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
  в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?

Прислать комментарий

Решение

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]